Другим важным свойством алгоритма триединства является следующее:

- Для каждой строки триединства соблюдается равенство:

                                    N₂ – X_2/1 = 1;    N₁ – X_2/2 = 1.

                                    Z_2/1 – N₂ = 1;     Z_2/2 – N₁ = 1.

    Таким образом, если значение X или Z функции ∆ = 2 может быть представлено в виде aY_a², то для всех этих случаев данные соотношения соответствуют неопределенному уравнению Ферма  X² – aY² = ±1.  Исходя из того, что значения N представляют собой квадраты абсолютно всех чисел, то, следовательно, алгоритм триединства представляет абсолютно все решения данного уравнения Ферма.

На рисунке 23 представлено геометрическое толкование данного уравнения. 

Рисунок 23.

.

На рисунке:

FE (Y₁) соответствуют значениям Y функции ∆ = 1, обозначим их как Y₁.

OF соответствуют значениям Х₁ (для данного Y₁) функции ∆ = 1,

CD (Y₂) соответствует значениям Y функции ∆ = 2 для прямых связей

                                       Y_{2 пр. св.} = Y₁ + 1,

(в таб. 17 эти строки  выделены голубым цветом).

OD соответствует значениям Х₂ для данного Y₂ прямой связи (X_{2 пр. св.}).

AB (Y₃) соответствует значениям Y функции ∆ = 2 для обратных связей

                                         Y_{2 об. св.} = Y₁ - 1,

(в таб. 17 эти строки выделены зеленым цветом).

OА соответствует значениям Х₂ для данного Y₂ обратной связи (Х_{2 об. св.}).

AF = OG = OF – OA = N или, N = X_{2 пр. св.} – (X₁ – X_{2 об. св.})  И всегда равно квадрату натурального числа.

DG =   X_a² – aY_a²= 1.

СЕ – прямая связь.

ВЕ - обратная связь.

Таблица 17.

Обратимся к таблице 17. Здесь для каждой строки прямой связи существует зависимость:

для ∆ = 2/1 (четной функции)  N₂ – X _∆2/1 = 1;

для ∆ = 2/2 (нечетной функции)  N₁ – X _∆2/2 = 1.

При этом N всегда равно X _∆1 – X _∆2 обратной связи.  

Например: строка № 2:  X₂ = 8,    N₂ = 9;     9 – 8 = 1;

строка № 3:  X₂ = 15,  N₁ = 16;  16 – 15 = 1.

Следовательно, всегда:   X_a² = N;    aY_a² = X₂ или Z₂.

    Исходя из вышеуказанного, уравнению   X² – aY² = 1  соответствуют соотношения прямых связей: 

Уравнению  aY² – X² = 1 соответствуют соотношения обратных связей:

Где Y₁  всегда натуральное нечетное число, т. е. значение Y той же строки функции ∆ = 1.

Но здесь встаёт вопрос, а для любых ли значений a, можно найти такое значение X₂ или Z₂, что оно будет представимо в виде aY²?  Я не намерен представлять сейчас какие – либо доказательства, потому как это отдельная работа. Однако современная теория чисел утверждает, что при любом целом положительном a, отличном от полного квадрата, уравнение Ферма имеет бесконечное множество решений.   Желающим доказать правоту этого утверждения, предлагаю найти решения для значений:  a = 139; 151; 163; …; 433….              

Кроме того, в таблице 17 готическим, кранного цвета шрифтом, выделены так называемые простые числа Ферма. Все они соответствуют значениям Z функции ∆ = 2/2.

В целом, по мере изучения математического наследия Ферма, я пришел к выводу, что все его работы тем или иным образом связаны с изучением свойств функций пифагоровых чисел и алгоритма триединства. И тогда становится понятным скрытность Ферма и причина, по которой могли отравить его и Декарта.

Вопрос:  Кто будет оспаривать то, что доказывается самими числами?  Кто будет утверждать, что Пьер де Ферма вывел свою теорему, не имея тому убедительного доказательства?