Рассмотрим следующий пример: если у функции ∆ = 9 между V-тангенсоидами  = 3 и  = 5 расположены две первообразных резонансных точки, то функция ∆ = 18 на этом промежутке добавляет еще две первообразных резонансных точки (см. рис. 19).

Рисунок 19.

Из рисунка видно, что резонансные точки и V-тангенсоиды образованные функцией

∆ = 9 (обозначенные красным цветом) расположены относительно основных V-тангенсоид смещенными к V-тангенсоиде  = 4.  В то же время V-тангенсоиды функции ∆ = 18 (синие) устраняют образованную асимметричность, обеспечивая тем самым равномерное и симметричное расположение вновь образованных V-тангенсоид в промежутках между основными V-тангенсоидами. В первообразных гармониках этих функций, первообразные резонансные точки чередуются с обычными точками.

В свою очередь первообразные ∆- функции, относящиеся к функции ∆ = 8, образовывают первообразные резонансные точки, относительно основных тангенсоид, симметрично. На рис. 20  обозначены первообразные резонансные точки и тангенсоиды ими образованные функций ∆ = 8 (синие) и ∆ = 32 (красные). 

Рисунок 20.

Рисунок 21.

Рис. 21 представляет собой совмещение рисунков 19 и 20, где красными линиями отмечены V-тангенсоиды от резонансных точек ∆ = 9 и ∆ = 18, синими отмечены V-тангенсоиды от резонансных точек ∆ = 8 и ∆ = 32. Таким образом, обеспечивается равномерное и постоянное заполнение пространства между основными резонансными точками, ведущими свое начало непосредственно от функций ∆ = 1 и ∆ = 2.  Вывод здесь однозначен: распад ∆- функций на гармоники необходим для образования новых резонансных точек так, чтобы они располагались по параболе любой ∆- функции с предназначенной для них плотностью. Необходимость такого равномерного распределения резонансных точек по ∆- функции находит объяснение в общей теории относительности, что будет рассмотрено ниже.

Кроме того, как было установлено, резонансные точки горизонтальных функций лежащие влево от оси симметрии фактически принадлежат вертикальным функциям (для значений +∆). Аналогично резонансные точки вертикальных функций лежащих вправо от оси симметрии принадлежат горизонтальным функциям. Таким образом, гармоники ∆- функций предназначены так же для передачи свойств горизонтальных функций – вертикальным, вертикальных функций -­ горизонтальным.

Если построить таблицу чисел (равнозначно, что таблицу значений ∆ по порядку), распределив их согласно указанному, то видно, что все ∆- функции, численная величина ∆ которых кратна 8 и 9, в обязательном порядке распадаются на гармоники (см. таб. 12), где синим цветом выделены функции, распадающиеся на гармоники (кильватерные); зеленым цветом выделены первообразные ∆- функции. Синим шрифтом обозначены простые числа, красным шрифтом обозначены квадраты чисел.

Таблица 12. 

Это говорит о том, что именно функции ∆ = 8  и  ∆ = 9  являются не только первообразными, но и родоначальными для всех остальных функций распадающихся на гармоники.

Из выше приведённого анализа следует, что всё бесконечное множество пифагоровых чисел подчинено единым законам образования.  Не может в осях координат существовать какой-либо пифагоровой тройки обладающей иными свойствами. Из этого следует, что решение уравнения  X² + Y² = Z²  в целых числах  возможно только при условии, что  равенство  Z = X + ∆  так же выражено в натуральных числах, а значениям Y придаётся требуемое приращение. В противном случае, решения указанного  уравнения в натуральных числах исключается (см. таб. 1).

Из этого следует, что для доказательства теоремы Ферма, следует рассматривать только случаи когда значения X  и  ∆ выражены целыми числами при этом и значение Z , будет так же числом натуральным. Таким образом, уравнение Zⁿ = Xⁿ + Yⁿ следует рассматривать только в отношении значений Y. В таб. 13 взято 18 пифагоровых троек с различными значениями ∆ и показаны, какие значения принимает Y при увеличении степени n от 1 до 9.

Таблица 13.

Из приведенной таблицы видно, что с увеличением значений n, Y → Z, при этом никогда не принимает целые значения. Кроме того эта таблица ещё раз доказывает, что все резонансные точки обладают едиными свойствами. 

Рассмотрим теперь всё вышеуказанное в алгебраическом виде.

Если уравнение (8) представить в виде Ax² + By² = Cz² (9), то решение данного уравнения, как для прямоугольного треугольника возможно только в случае: A = B = C = m, и выражены они, должны быть, в натуральных числах. Причем, обязательным условием является:    

  = z - x,      где  z > x > y (10).

В любом другом случае, это уже не будет решением прямоугольного треугольника.

Рис. 22.

Самое ценное в уравнении (2) заключается в том, что оно снимает неопределенность уравнения (11). График данного уравнения есть эллиптическая кривая, на которой значения  z  откладываются в комплексном виде, тем самым, позволяя использовать данное уравнение для доказательства ВТФ.   

а квадраты x²; y²; z² есть единичные квадраты (на рис. 4 – квадраты красного цвета).

 Данное доказательство ведется методом подъёма и на полях книги его никак не разместить. Но что в нём удивительного? То что фактически оно проводится самими пифагоровыми числами?  А быть может за ним скрыто нечто более значительное.