Глава 4.

 ∆- функции, распадающиеся на гармоники.

Когда было обнаружено, что многие ∆- функции распадаются на гармоники, встал вопрос, имеются ли какие - либо закономерности в их образовании. Особое значение этому, придало то, что многое из этих функций являются первообразными, т. е. образуют новые первообразные резонансные точки и, следовательно, новые V- тангенсоиды.

Для такого исследования ∆- функций воспользуемся следующим приемом: возьмем две V- тангенсоиды, первая - ОЗС tan  = 0,75; вторая V- тангенсоида проведена через произвольную резонансную точку функции  ∆ = 1  В нашем случае точка 853, tan  =  0,00117165 с координатами X = 1456924, Y = 1707 и подсчитаем количество резонансных точек, размещаемых между данными V- тангенсоидами по оси Y, для каждой функции в отдельности (см. таблицу 8). При этом количество резонансных точек для определяемой ∆- функции будет:  (Y₈₅₃ – Y₁)/h_Y (см. столбец 6).

1 столбец – значения Y по оси золотого сечения (tg = 0,75).

2 столбец – значения Y по V- тангенсоиде от точки 853.

3 столбец – разница значений Y₈₅₃ – Y_ОЗС.

4 столбец – значения ∆ по порядку для функций пересекаемых указанными тангенсоидами.

5 столбец – шаг прогрессии h_Y для указанных ∆- функций.

6 столбец – количество резонансных точек на исследуемом участке.

Таблица 8.

                 

и так далее. (Красным шрифтом обозначены первообразные функции).

Где: Y₂ (Y 853) - значение Y для исследуемой ∆- функции по тангенсоиде tan = 0,00117165; (Y₂ = 1707 * ∆).

Y₁  значение Y для исследуемой ∆- функции по тангенсоиде tan = 0,75;  (Y₁ = 3 * ∆).

Полученные данные (расположив ∆- функции по количеству резонансных точек  на исследуемом участке по мере их возрастания) сведем в таблицу 9, где:

1 столбец  -  нумерация ∆- функций по порядку.

2 столбец  -  шаг возрастания аргумента h_y для данного ряда ∆- функций.  

3 столбец  - количество резонансных точек (по их возрастанию) расположенных между выше указанными V- тангенсоидами, для данного ряда функций

(N_f = f_i – f₁).

     4 столбец  - каждый ряд: первой стоит первообразная ∆- функция и далее функции равные ей по количеству резонансных точек, т.е. ∆- функции образованные от данной первообразной ∆- функции, (кильватерные функции).

5 столбец  - демонстрация возрастания по значениям ∆ первообразных ∆- функций (H_f), т.е. порядок их образования.

6 столбец – количество гармоник распада ∆- функций данного ряда.

Таблица 9.

Каждая первообразная ∆- функция (в таблице стоит в начале ряда и напечатана красным шрифтом) служит началом бесконечного ряда кильватерных ∆- функций распадающихся на то же количество гармоник, что и первообразная. И у этих ∆- функций, все резонансные точки располагаются на V- тангенсоидах образованных первообразными резонансными точками данной первообразной ∆- функцией. Все нечетные первообразные ∆- функции чередуются с четными первообразными

∆- функциями. Причем, если для первой ∆- функции количество точек на исследуемом промежутке равнялось 852. То для всех последующих первообразных ∆- функций оно равняется  (852 * № п/п). В таблице все

 ∆- функции расположены по возрастанию количества резонансных точек, при этом четко прослеживается следующая закономерность:

N = N_∆1 х №.

Где:

N - количество резонансных точек для данной ∆- функции между двумя V- тангенсоидами.

N_∆1 - количество резонансных точек между данными V- тангенсоидами для функции  ∆ = 1.

№ - порядковый номер ∆- функции.

Таким образом, количество резонансных точек (заключенных между двумя произвольно взятыми тангенсоидами), для любой ∆- функции будет кратно количеству резонансных точек функции ∆ = 1.

Образование первообразных ∆- функций подчинено следующим законам:

В таб. 9 функции ∆ = 1 и ∆ = 2 отделены от остальных ∆- функций красной рамкой, потому как все их кильватерные функции на гармоники не распадаются. К функции  ∆ = 1  относятся все нечетные ∆- функции, не распадающиеся на гармоники. К функции  ∆ = 2  относятся все четные ∆- функции, не распадающиеся на гармоники.

Все ниже расположенные ∆- функции распадаются на гармоники, при этом они разделяются на три категории, которые выделены цветами: голубой, желтый и белый.

- Каждая голубая строка начинается с первообразной функции ∆_п, ∆ которой равна квадрату нечетного числа и располагаются они через строку в порядке возрастания чисел: 3², 5², 7² и т. д.  Поэтому они всегда равны квадрату порядкового номера строки. Число гармоник n, на которые они распадаются всегда равно порядковому номеру строки и знаменателю значения  h_Y = 2 ∆/n = 2 ∆/№. Число первообразных гармоник равно n - 1. Если численное значение ∆ есть число простое, то функция на гармоники не распадается (функции ∆ =3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 и т. д.).

- В белой строке первообразная функция образовывается от удвоенного значения первообразной функции голубой строки, т. е. 9→18; 25→50; 49→98  и т. д. Количество первообразных гармоник так же равно n – 1. Однако, в отличие от первых, в первообразных гармониках, первообразные резонансные точки чередуются с кильватерными.

   Значения  первообразных резонансных точек обозначены красным шрифтом, кильватерные – синим. В качестве примера привожу функцию

∆ = 18.

Таблица 10.

В желтых строках расположены четные первообразные ∆- функции, берущие начало от функции ∆ = 8, они возрастают по значениям ∆ в арифметической прогрессии (H_f), первый член которой равен 10, а последующие возрастают с шагом прогрессии равном 4, как-то: 10, 14, 18, 22. Шаг возрастания значений Y для них равен: h_y =  ∆/2, ∆/3, ∆/4, ∆/5¼ где знаменатель возрастает от 2 до , принимая как четные, так и нечетные значения (см. столбец 2 таб. 9 и рис. 18).  Численное значение знаменателя равно количеству гармоник содержащихся в ∆- функции.  Порядковый номер их в таблице 9 всегда численно равен удвоенному значению знаменателя h_y для данной ∆- функции. Вместе с тем, следует отметить, что функции из белой строки являются одновременно производными, как от нечетных функций, так и от четной функции ∆ = 8, что демонстрируется алгоритмом на рис. 18.   

Рисунок 18.

Таким образом, функция ∆ = 9 является родоначальной для всех нечетных ∆- функций распадающихся на гармоники и половины четных. Функция ∆ = 8 является родоначальной для полвины четных ∆- функций напрямую (на рис. 18 эти функции обозначены синим шрифтом), а другую половину образовывают совместно с функцией ∆ = 9.                     

Указанные закономерности позволяют создать четкий алгоритм для определения всех первообразных ∆- функций. В качестве образца приведена таблица  11, которая является продолжением таблицы 9.

Таблица 11.

Красной зигзагообразной линией указан порядок чередования нечетных и четных функций по порядку их образования:

1, 2, 9, 8, 25, 18, 49, 32, 81 и т. д. (См. таб. 11*).

Таблица 11*.

Остальные ∆- функции, распадающиеся на гармоники, но не являющиеся первообразными, распределяются следующим образом (в ряду по горизонтали):

- общим правилом для всех является то, что каждая последующая в строке ∆- функция по ∆ равна m∆_п, где ∆_п есть значение ∆ первообразной ∆- функции (в таблице выделена шрифтом красного цвета), а m = 1, 2, 3..., т. е. значения их ∆ всегда кратны значениям ∆ первообразной функции.

- для нечетных первообразных ∆- функций каждая последующая функция ∆ = 2∆_п, где ∆_п значение первообразной функции,  сама является первообразной ∆- функцией.

-         если ∆- функция в данном ряду кратна ∆_п функции с более высоким значением ∆, то такая более высокая ∆- функция «берет» ее в свой ряд, т.е. такая ∆- функция, распадается на гармоники аналогично более высокой ∆- функции. Например: первообразная функция ∆_п = 25, последующая функция  ∆ = 50 сама является первообразной ∆- функцией. Далее следуют (производные  от ∆_п = 25): 75, 100, 125, 150, 175, 200 и т. д. Но 100, 150, 200 кратны первообразной функции  ∆_п = 50 и они распадаются на гармоники уже, аналогично этой D- функции, т.е. переходят в ее ряд. Причем, если значение первообразной функции четное число, то и весь ряд состоит из четных функций. Если значение первообразной функции нечетное число, то и весь ряд состоит из нечетных функций.

Если ∆- функция распадается на гармоники, то соотношение  имеет решение в натуральных числах, только для гармоник происходящих от функций ∆ = 1 и ∆ = 2, для остальных гармоник данное соотношение дает дробное значение. Эта закономерность позволяет быстро определить распадается данная ∆- функция на гармоники или нет и количество гармоник. Вопрос: для чего функции распадаются на гармоники?

Продолжение главы следует: