Глава 2.

Общие представления о ∆- функциях.         

Уже столетия математиков волнует вопрос, если Пьер ФЕРМА смог вывести свою Великую теорему, то каким образом он нашел доказательство тому. Это тем более становиться загадочным после того как Эндрю Уайлс доказал справедливость теоремы Ферма. Доказательство теоремы Ферма осуществленное Э. Уайлсом основано на решении следующей задачи. Привожу цитату из книги Саймона Сингха «Великая теорема Ферма».

Преобразовав уравнение Ферма в кубическое, Фрей тем самым установил связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы–Шимуры. Далее Фрей обратил внимание аудитории на то, что его эллиптическая кривая, полученная при помощи решения уравнения Ферма, обладает весьма причудливым характером. Фрей утверждал, что эта эллиптическая кривая настолько необычна, что даже отзвуки самого существования этой кривой имеют разрушительные последствия для гипотезы Таниямы–Шимуры.

Не следует забывать, что эллиптическая кривая Фрея — всего лишь фантом, призрак. Ее существование обусловлено тем, что уравнение Ферма имеет решение. Но если эллиптическая кривая Фрея существует, то она столь причудлива и необычайна, что невозможно установить соответствие между ней и какой угодно модулярной формой. Но гипотеза Таниямы–Шимуры утверждает, что каждая эллиптическая кривая должна быть связана с какой-нибудь модулярной формой. Таким образом, существование эллиптической кривой Фрея отрицает гипотезу Таниямы—Шимуры. Иначе говоря, аргументы Фрея сводились к следующему.

-  В том (и только в том) случае, если Великая теорема Ферма неверна, то эллиптическая кривая Фрея существует.

-  Кривая Фрея настолько причудлива, что не может быть модулярной.

-  Гипотеза Таниямы–Шимуры утверждает, что любая эллиптическая кривая должна быть модулярной.

- Следовательно, гипотеза Таниямы–Шимуры должна быть неверна!

Но, что еще более важно, рассуждения Фрея можно обратить:

-  Если гипотеза Таниямы—Шимуры окажется верной, то каждая эллиптическая кривая должна быть модулярной.

-  Если любая эллиптическая кривая должна быть модулярной, то эллиптическая кривая Фрея не может существовать.

-  Если эллиптическая кривая Фрея не существует, то не могут существовать решения уравнения Ферма.

Следовательно, Великая теорема Ферма верна!

Короче говоря, весь вопрос сводился к тому, чтобы доказать, что любая эллиптическая кривая должна быть модулярной, что и было осуществлено Э. Уайлсом. Доказательство Уайлса занимает 100 страниц убористого математического текста и заведомо удовлетворяет критерию Ферма (это доказательство невозможно воспроизвести на полях «Арифметики»), но Ферма не были известны ни модулярные формы, ни гипотеза Таниямы–Шимуры, ни группы Галуа, ни метод Колывагина–Флаха. Но ведь Ферма убедительно написал, что нашел удивительное доказательство своей теореме. Доверимся, Перу де Ферма и продолжим начатый анализ, тем более, что Э. Уайлс провёл своё доказательство методом спуска, а П. Ферма утверждал, что он осуществил доказательство методом подъёма.

Отметим, что доказательство Э. Уайлса основано на доказательстве модулярных форм именно эллиптических кривых. Но и нами установлено, что резонансные точки располагаются именно на параболах, которые можно рассматривать и как эллиптические кривые. Возьмем две параболы функции ∆ = 1 расположенных вдоль осей X.

Рисунок 10. 

Резонансные точки выделены красным цветом.

Аналогично все резонансные точки будут располагаться и по остальным ∆- функциям (эллиптическим кривым – параболам).

Рисунок 11.

Эллипс от параболы отличается эксцентриситетом e. Для параболы e = 1, для эллипса e < 1.

Для эллипса эксцентриситет равен:

Уравнение 8.

Однако, из рис. 10 видно, что любую ∆- функцию можно рассматривать как бесконечно растянутый в пространстве эллипс, который, уходя в бесконечность по положительной оси X,  возвращается вдоль отрицательной оси X. Следовательно, величины a и  b,  будут, так же стремится к бесконечности. В таком случае эксцентриситет будет стремиться к 1, т. е. практически равен 1. В таком случае имеем полное основание принимать данную эллиптическую кривую за параболу.

Рассмотрим данный вопрос более подробно.

Рисунок 12.

Рисунок 12 является одновременно  геометрической интерпретацией комплексного числа, графиком эллиптической кривой и отображением прямоугольного треугольника в декартовой системе координат. В то же время BC (∆) есть высота сегмента окружности.

Из геометрии известно, что высота сегмента окружности h равна:

В нашем случае h = BC = D;   a = AD = 2Y;   a = b/2,  следовательно:

Уравнение 9.

Из канонического уравнения параболы следует: U² = 2pX,  (p = EF) откуда

                                             p = Y² / 2X.  

В нашем случае если это парабола, то   p = ∆ (см. рис. 1.12)  и, следовательно, за эксцентриситет можно принять отношение  e = ∆ /p,  или:

Уравнение 10.

Причем, если  e = 1, то это парабола, если  e < 1, то это эллипс.

Возьмем несколько точек из разных ∆- функций и  вычислим для них эксцентриситет.

Таблица 3.

Из таблицы видно, что чем ближе резонансные точки расположены к директрисе параболы, тем их эксцентриситет  выражает свойство эллипса, а по мере удаления от директрисы, эксцентриситет этих точек стремится к значениям параболы, т. е. стремиться к 1. Поэтому вполне справедливо считать ∆- функции за параболы.

Далее, в таблице 12 взяты по три резонансных точки расположенных на четырех ∆- функциях с различными значениями ∆. Но расположены они на одних и тех же V- тангенсоидах: точки под номером 1 на одной, точки 2 - на другой, точки 3 – на третьей, и как видно из таблицы, резонансные точки, расположенные по одной и той же V- тангенсоиде имеют один и тот же эксцентриситет. Отсюда следует, что параболы всех ∆- функций подобны между собой.

Рисунок 13.

Таким образом, графики всех ∆- функций по своей сути представляют собой растянутые в бесконечность и, тем не менее, замкнутые эллипсы с совмещенными фокусами. Но поскольку по мере увеличения значений X данные эллипсы более сходны с параболами, то и будем рассматривать графики ∆- функций как параболы, тем более что для бесконечно растянутых эллипсов каких-либо канонических уравнений в элементарной математике не существует.

Продолжим анализ. Если значение ∆ число четное то такую функцию будем называть четной ∆- функцией, если значение ∆ число нечетное, то и ∆- функцию будем называть нечетной ∆- функцией. Таким образом, все ∆- функции подразделяются на вертикальные, горизонтальные, четные и нечетные.

Как уже отмечалось выше графики всех ∆- функций подобны между собой, их отличие заключается только в различиях радиуса кривизны. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только резонансные точки, расположенные на ветвях парабол в первом (положительном) квадранте координат. И все закономерности установленные для исследуемых ∆- функций и расположенных на них резонансных точек, будут справедливы во всех квадрантах координат.  Построение таблиц ∆- функций в Excel осуществляется следующим образом. В качестве опорной точки принимается для горизонтальных ∆- функций первичная тройка (4, 3, 5), для вертикальных – (3, 4, 5). Последующие опорные точки для любой другой ∆- функции определяется по формуле  ∆* ± (4, 3, 5) для горизонтальных функций и ∆* ±(3, 4, 5) для вертикальных функций. Затем определяются значения Y, согласно правил, что шаг прогрессии для четных функций равен ∆, а для нечетных функций равен 2∆. В качестве примера привожу таблицы 4. На таблицах голубым цветом выделены резонансные точки, расположенные по ОЗС вдоль положительной оси X, а светло-коричневым обозначены резонансные точки, расположенные по ОЗС вдоль отрицательной оси X. Эти точки и ОЗС выделены на рисунках 13, 14 красным цветом.

Таблицы  4.

Рисунок 14.

Из представленных таблиц и графиков следует, что вершина каждой ∆- функции всегда располагается на противоположной стороне оси в точке равной ∆/2, а перпендикулярную ось ветви парабол пересекают в точках, значение которых равно ∆. 

NB!  PS! Уважаемые читатели, в результате допущенной оплошности Главу 3 пришлось переместить на место после главы 11. Приношу свои извинения, но вернуть ее на место, как-то не получается.