Диалектика чисел
      От Пифагора до Эйнштейна

Глава 1.                                        

Каким способом Пифагор находил свои «тройки» и что вообще они из себя представляют.

Повсеместно в теории чисел для нахождения пифагоровых троек используют теорему Евклида, суть которой сводится к следующему:

Если x, y, z - попарно простые натуральные числа, удовлетворяющие уравнению  x² + y² = z² , то из двух чисел  x и y  одно четно, а другое нечетно.   

Взаимно простые числа  x, y, z (x > 0, y > 0, z > 0), из которых  x четно,    удовлетворяют  уравнению   x² + y² = z²  тогда и  только тогда, когда 

x = 2ab,    y = a² - b² ,      z = a² + b².

Где  a > b > 0,  (a, b) = 1 и из чисел  a и b одно четно, а другое  нечетно. При этом если пифагорова тройка имеет наибольший общий  делитель, то она  сокращается на него.

Однако, доподлинно известно, что сам Пифагор, для получения своих троек использовал уравнение:

Уравнение 1:

И вот историческая загадка, почему никто, кроме Пьера Ферма не стал заниматься исследованием данного уравнения. И я докажу, что именно этим путем П. Ферма пришел к выводу своей «Великой теоремы».

Итак, из каких соображений выводится указанное уравнение.

На радиусе окружности равном значению Z, построим прямоугольный треугольник:

Рисунок 1:

Из рисунка видно, что OA = OC = (OB + BC) = Z = (X + ∆).

Поскольку радиус окружности может принимать размерность от 1 до ∞, то и значения X и Z, могут принимать те же значения. Для любой окружности радиусом R = Z, всегда Z = X + ∆. При этом, если мы рассматриваем, что X, Y, Z числа натуральные, то и значение ∆, всегда будет числом натуральным, что обеспечивает нахождение всего множества пифагоровых троек. И это справедливо для любой пифагоровой тройки!

Представим уравнение X² + Y² = Z² в виде X² + Y² = (X+∆)² преобразуя которое, получим:

Уравнение 2.

Отсюда видно, что при ∆ = 1, мы получим искомое уравнение 1. Дальнейшие преобразования дадут:

Уравнение 3:                                  

Уравнение 4.

Уравнения 5 и 5*.

Из этого также следует, что, придавая ∆ значения от 1 до , мы можем получить все бесконечное множество пифагоровых троек. Причем все эти тройки будут находиться в функциональной зависимости от значений ∆ и, таким образом, они уже не будут хаотично разбросаны. Теперь можно составлять их таблицы по значениям ∆ и изучать закономерности их образования, (все таблицы составлены в Excel, а графики в MathCAD).

Привожу пример.

Таблицы 1.

Из приведенных таблиц видно, что для получения пифагоровых троек требуется значениям Y придавать определенные значения. При этом видно, что необходимые значения возрастают в арифметической прогрессии. При этом соблюдается следующая закономерность: если значение ∆ число четное, то шаг прогрессии h_Y равен значению ∆, если значение ∆ нечетное число, то шаг прогрессии равен 2∆. Здесь также видно, что наименьшей пифагоровой тройкой является тройка 4, 3, 5. 

Представим эти таблицы с учетом сказанного.

Таблицы 2.

Мы получили те же таблицы, но уже только с натуральными числами. Назовём каждую тройку с координатами X, Y – резонансной точкой, расстояние которой до центра координат равно значению Z.

Теперь встаёт другой вопрос – как располагаются данные тройки в осях координат.  Уравнения 1 ÷ 4 являются уравнениями второго порядка. На рис. 1 эта кривая обозначена красной линией и как будет доказано ниже является параболой. Составим графики для первых трёх значений ∆.

Рисунок 2.

На данном рисунке графики функций представлены в первом квадранте координат, но так как в уравнении X² + Y² = Z², значения X и Y могут быть как со знаком плюс, так и минус, то истинные графики для значений X > Y (4,3,5) будут:

Рисунок 3.

Данные графики можно рассматривать и как интерпретацию комплексного числа:

Рисунок 4.

Если принять, что Y > X (3,4,5), тогда графики функций будут располагаться вдоль оси Y:

Рисунок 5.

А в целом интерпретацию рис. 4 вдоль каждой оси координат допустимо представить так:

Рисунок 6.

И поскольку значение ∆ также возможно  принимать как со знаком плюс, так и со знаком минус (тем более, что гипотенузу Z можно рассматривать и как вектор), то и функции пифагоровых троек могут располагаться вдоль каждой из осей координат.

Рисунок 7.

Рисунок 8.

Рисунок 9.

Таким образом,  уравнение 1   в осях координат для значений X > Y, будет:

Уравнения 6 и 6’.

Для значений Y > X:

Уравнения 7 и 7’.

Подводя итоги вышесказанному, следует:

- Пифагоровы числа есть ничто иное, как координаты X, Y определенных точек в осях координат (назовем эти точки резонансными) расстояние которых до центра координат равно Z. Естественно, что все эти значения должны быть выражены в натуральных (целых) числах.

- Все данные резонансные точки располагаются на ветвях парабол определяемых уравнениями 6, 7, и являются функциями от значений 

∆ = (Z – X).  Поскольку, форма каждой такой параболы зависит от значения  ∆, то даю им название ∆- функции.  При этом,

∆- функции расположенные вдоль осей X назовем горизонтальными ∆- функциями, а те, что расположены вдоль осей Y – вертикальными  ∆- функциями. Такое разделение объясняется тем, что если рассматривать графики значений Z, то  на них четко видно данное разделение (см. рисунок 9*), причем, границей того разделения являются оси симметрии, которые одновременно являются и касательными к указанным графикам.

Рисунок 9*. 

- Поскольку каждая резонансная точка принадлежит своей и только своей ∆- функции, то никакие сокращения её на НОД  недопустимы.

- Если через любую резонансную точку от центра координат провести прямую линию (см. рис. 7, 8, 9), то на ней расположатся множество других резонансных точек, принадлежащих другим  ∆- функциям, причем первичная точка на этой прямой, всегда будет выражена примитивной (не имеющей НОД) пифагоровой тройкой. Последующие резонансные точки за первичной резонансной точкой, будут уже  производными от первичной резонансной точки. Поэтому таким первичным тройкам даю название первообразные резонансные точки, а ∆- функциям, имеющие такие первообразные резонансные точки назовем  первообразные  ∆- функции. 

-   Каждая такая прямая с расположенными на ней резонансными точками, для каждой своей точки в отдельности, будет являться значением  Z,  и угол ее наклона определяется отношением  Y/X или  X/Y, т. е. тангенсом угла с осью X  или Y. В то же время гипотенузу Z можно рассматривать и как вектор. Поэтому я дал название этим прямым вектор - тангенсоиды (V-тангенсоиды).   

- Наименьшей или первичной резонансной точкой является пифагорова тройка (4, 3, 5) или (3, 4, 5).  V-тангенсоиде, проходящей через данную точку, я дал название Ось Золотого Сечения (ОЗС).   ОЗС является первой V – тангенсоидой,  на которой расположены резонансные точки абсолютно всех ∆- функций, а отношение Z/Y равно 1,666…, т. е. приблизительно равно общепринятому значению Золотого сечения. 

Теперь, дав общие понятия и определения, перейдем к более детальному изучению свойств пифагоровых чисел, т. е. свойств ∆- функций с расположенными на них резонансными точками.