Глава 3.

Закономерности распределения резонансных точек по ∆- функциям и V-тангенсоидам. 

Как было установлено выше, для всех ∆- функций существует порядок, что для четных функций шаг возрастания значений h_Y = ∆, а для нечетных h_Y = 2∆. Однако есть бесконечное множество ∆- функций у которых действительный шаг h_Y меньше этих значений, т. е. данная ∆- функция как бы состоит из ряда подфункций.  Первыми такими ∆- функциями являются функции ∆ = 8  и ∆ = 9.

Таблицы 5.

Таблицы 6.

Если данные функции сопоставить с гармоническими колебаниями, то получается, что данное колебание как бы состоит из ряда гармоник. Потому назовем такие подфункции гармониками. Из таблиц 5, 6 видно, что функция ∆ = 8 распадается на две гармоники, а функция

∆ = 9 распадается на три гармоники. Так вот, общее правило для всех ∆- функций, распадающихся на гармоники следующее: чётные ∆- функции распадаются на ∆/n число гармоник, а нечетные – на  2∆/n гармоник, где n – число гармоник, причем в каждой гармонике шаг возрастания значений Y соответствует требуемому, т. е. h_Y = ∆ для четных функций и h_Y =2∆ для нечетных функций. Такой распад функций на гармоники необходим для образования новых первообразных резонансных точек. Здесь не следует забывать, что каждая первообразная резонансная точка выражена примитивной пифагоровой тройкой и является первичной точкой  образования новой V-тангенсоиды. Здесь и во всех последующих таблицах ∆ - функций имеется столбец под знаком квантора всеобщности , который получен от соотношения:

Уравнение 11.

Введение этого знака было необходимо для распознавания к какой V-тангенсоиде относится та, или иная резонансная точка. Значения  первообразных резонансных точек (примитивные пифагоровы тройки) во всех таблицах отмечены красным шрифтом. Синим шрифтом, отмечены кильватерные  резонансные точки, т. е. те, что расположены по данной V-тангенсоиде после первообразной точки.  Из таблицы 4 видно, что все резонансные точки функции ∆ = 1 являются первообразными и квантор всеобщности их выражен натуральными нечетными числами. У функции ∆ = 2 первообразные резонансные точки образуются только для троек, где значения X -  число четное и  также выражен натуральным четным числом.

Возрастание функции  X  происходит в комбинированной, я бы сказал,  в биномиальной прогрессии, (имеет некоторое сходство с последовательностью Фибоначчи),  где значение каждого последующего  X  равно значению предыдущего  X,  плюс разность между двумя предыдущими значениями  X,  плюс шаг возрастания функции h_x, т.е.

X_n+1 = X_n + (X_{n ­­}- X_n-1) + h_x;

откуда       

|h_X| = X_n+1 + X_n-1 - 2X_n.

При этом численные значения h_x (по модулю) прямо пропорциональны значениям h_y:  если h_y = ∆, то h_x = h_y; если h_y = 2∆ , то h_x = 2h_y; если h_y = 2 ∆/n,  то h_x = 2h_y/n  (n – число гармоник). Но, если функция распадается с образованием первообразных гармоник, то шаг возрастания функции обязательно будет равен:

 - для четных функций:                 h_X = 2;

 -  для нечетных функций:            h_X = 4.

Все другие V-тангенсоиды, образованные от остальных первообразных ∆- функций, имеют значение  выраженное дробным числом. V-тангенсоиды, резонансные точки у которых , выражен только натуральными числами будем считать основными.  V-тангенсоиды имеющие начало от функции

 ∆ = 1 имеют резонансные точки на всех ∆- функциях без исключения.  V-тангенсоиды берущие начало от функции ∆ = 2 имеют резонансные точки на всех четных функциях без исключения. 

Все резонансные точки лежащие по одной и той же V-тангенсоиде имеют одинаковое значение , равное значению  первообразной резонансной точки, образующую данную тангенсоиду. Все указанные свойства представлены графиками на рис. 15, 16.

Таблицы 7.

Рисунок 15.

На рисунке 15 красным цветом отмечены первообразные резонансные точки, а синим - кильватерные резонансные точки.

Рисунок 16.

На рисунке 16 видно, что каждая резонансная точка одновременно принадлежит как горизонтальной, так и вертикальной ∆- функции. Таким образом,  все ∆- функции подразделяются на три группы:

- Основные – функции, не распадающиеся на гармоники, происходят непосредственно от функций ∆ = 1 и ∆ = 2. У этих функций, значения   всех резонансных точек всегда выражены натуральными числами.

- Первообразные ∆_п – функции, распадающиеся на гармоники с образованием первообразных резонансных точек.

- Кильватерные ∆_к – функции, распадающиеся на гармоники без образования первообразных резонансных точек.

Первичной резонансной точкой каждой ∆- функции следует считать точку расположенную на оси золотого сечения.  Причины тому следующие:

    -    Начинать отсчет с оси Y невозможно, так как при этом X = 0,  Z = Y.

    -    На участке от оси Y до оси симметрии (tg  = 1,0) все резонансные точки принадлежат параболам  Y > X   и для парабол X > Y  они являются только точками пересечения и наоборот.     

-         На участке  ОЗС (tg  = 1,333…) – ось симметрии (tg  = 1,0) -  ОЗС (tg = 0,75) все резонансные точки принадлежат только гармоникам  ∆- функций распадающихся на гармоники.  Резонансных точек  ∆- функций, не распадающихся на гармоники там нет (рис. 16*).

Рисунок 16*.

 В целом это будет выглядеть, как представлено на рисунке 17.    Пересечение ветвями парабол осей симметрии  (tan  = 1)  происходит в точках, определяемых уравнениями:

                                          X = Y = ∆( + 1);   Z = ∆( + 2).

Рисунок 17.

Рисунок 17 демонстрирует одно из основных свойств ∆- функций: каждая резонансная точка является точкой пересечения четырех ∆- функций, каждая из которых расположена вдоль своей оси координат:

В точке «A» (4,3,5) пересекаются функции: ∆ = -8 (ось –Y);

 ∆ = 2 (ось +Y);  ∆ = -9 (ось –X);  ∆ = 1 (ось +X).

В точке «B» (12,5,13) пересекаются функции: ∆ = -18 (ось –Y);

 ∆ = 8 (ось + Y);  ∆ = -25 (ось –X);  ∆ = 1 (ось +X).  

В точке «С» (8,6,10) пересекаются функции: ∆ = -16 (ось -Y); 

∆ = 4 (ось = +Y);  ∆ = -18 (ось -X);  ∆ = 2 (ось +X).

В точке «D» (24,10,26) пересекаются функции: ∆= -36 (ось –Y); 

∆= 16 (ось +Y);  ∆= -50 (ось – X);  ∆= 2 (ось +X).

Тем самым свойства любой резонансной точки как бы передаётся другим резонансным точкам, как по ветвям парабол ∆- функций, так и по

V-тангенсоидам. 

Таким образом, каждая резонансная точка (пифагорова тройка чисел) является общей для четырёх различных ∆- функций. Следовательно, все пифагоровы тройки (решение уравнения  X² + Y² = Z² в целых числах) подобны и обладают одними и теми же свойствами.