Сравним уравнение (2) с уравнением вынужденных колебаний маятника:

Уравнение 16.

  где:

               - сдвиг фаз между скоростью и возмущающей                       силой;                            

         - частота свободных колебаний маятника;

         - частота вынужденных колебаний маятника (возбуждающая сила);

        - коэффициент затухания.

    И если принять, что    = 1 или  стремится к 0, то уравнение 16  будет абсолютно аналогично уравнению 2.

 Отсюда следует, что сдвиг фазы   и частота свободных колебаний  _, уже включены в числовые значения  X  и  Y, т.е. числовые значения  X зависят от сдвига фаз между числовыми колебаниями Y (свободными колебаниями) и возмущающей (возбуждающей) силой .

    Данное заключение вполне справедливо по причине, что любое численное значение

 X, Y, Z,  имеет основание, определяющее начальный угол сдвига фазы. Следовательно: 

  = ;   Y = ;   X = tan ,

 Таким образом,   - есть сила возбуждающая числовые колебания, поддерживающая их в незатухающем режиме и является основным аргументом при формировании - функции.

    Но, если числа действительно являются определенного вида колебаниями, то тогда и проблема Ферма становится ясной с точки зрения механики колебаний.

       Известно, что при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты (когерентных или псевдокогерентных) когда сдвиг фаз между ними равен:

                                       ;

                    где   (m = 0,  ±1, ±2, ±3);

то результирующее движение точки  M  в системе координат (или на экране осциллографа) будет представляться в виде отрезка прямой (см. рис. 33.).

Рисунок 33.

       m = ±1,±3, ...                             m = ±2,±4, ... 

  Откуда:         

  Где:

   -  А₁ и А₂  -  амплитуды колебаний;

   - знак плюс соответствует четным значением  m, т.е. сложению синфазных колебаний;

   - знак минус соответствует нечетным значениям  m, т.е. сложению колебаний происходящих  в противофазе.

     Во всех этих случаях точка M совершает линейно поляризованные колебания; она гармонически колеблется с частотой складываемых колебаний и амплитудой:

Колебания точки происходят вдоль прямой линии, составляющей с осью OX угол:

     И только в этом случае сумма складываемых колебаний может иметь решение в натуральных числах. Уже при складывании, пусть даже когерентных колебаний, но со сдвигом фаз не равным или не кратным , будут получаться результирующие колебания либо в виде окружности, либо в виде эллипса. И сумма колебаний никогда не будет выражена натуральным числом.  Если колебания не когерентны, то совокупность гармоник образует спектр колебаний, и представление такой функции, возможно, только путем разложения ее в ряды Фурье, что также никогда не может быть выражено натуральным числом.

         Действительно, если уравнение:    Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ  (при n >2)  представим  в виде:

                                          X^n-2X² + Y^n-2Y² = Z^n-2Z²,

       то отсюда видно, что колебания X², и Y² после умножения на X^n-2 и Y^n-2 уже никогда не будут когерентны и тем самым результирующая M – M (рис. 2.8.)  не будет прямой, а значит и не будет решения в натуральных числах.

    Именно в этом и заключен смысл пифагоровых чисел. Когда уравнение

 X² + Y² = Z² имеет решение в натуральных числах, это значит, что угол сдвига между числовыми значениями X и Y находятся в соотношении:           

                                                  .

И, поскольку, сложение колебаний А₁ и А₂ всегда можно представить методом векторных диаграмм, то я и дал название прямым  tg  = Y/X  вектор – тангенсоиды. Следовательно, резонансные точки являются  квантами числовых колебаний.

    Таким образом, анализ пифагоровых чисел согласно их функциональной зависимости от , привели нас к выводу, что числа обладают свойствами гармонических колебаний. Дальнейший анализ показал:

 - Период числовых колебаний (2) составляет 18 единиц, а полупериод () равен 9 единицам.

 - Сдвиг фазы между числами равен 22,5 градуса.

 - Свойства чисел, как и любых гармонических колебаний, зависят от начального угла сдвига фазы и определителем начального угла сдвига фазы являются основания чисел.

      Таблицы делимости чисел, составленные в соответствии оснований и полупериодов (нечетный, четный), наглядно демонстрируют, что основными и определяющими свойствами делимости являются:

-         к какому полупериоду относятся делимое и делитель;

-         какие основания имеют делимое и делитель.

    Учитывая выводы сделанные относительно зависимости значений X, Y, Z от численных значений  и только что рассмотренный материал следует:

-         Возбуждающая сила  в зависимости от численной величины (частоты) и ее основания (начального угла сдвига фазы), образовывает определенные колебания X, причем эти колебания всегда состоят из n гармоник (значения X для горизонтальных функций и Y для вертикальных функций всегда представлены составными числами).

-         Колебание X в зависимости от численной величины и основания выбирает строго определенное колебание Y, необходимое для образования строго определенного как по частоте, так и по начальному углу сдвига фазы, колебания Z.

-         Колебания Z могут быть представлены как составными числами (состоящими из гармоник), так и простыми числами (на гармоники не распадающиеся).