Продолжение.

1.3. Как находить пифагоровы тройки

Хотя идеи следующего решения задачи нахождения пифагоровых троек, по существу, совпадают с идеями решения Диофанта,  наши обозначения, терминология и изложение современны. Конечно, серьёзному студенту стоит прочитать собственное изложение Диофанта (имеется прекрасный английский перевод Хита, русский перевод также имеется: см. . — E.G.A.), но для того, чтобы восстановить обозначения и точку зрения Диофанта, требуются некоторые усилия, и, поскольку в нашей книге рассматривается более современная математика, мы не будем предпринимать попытку такой реконструкции. Рассуждение в этом доказательстве является очень важным, и его основная идея снова и снова встречается при изучении Последней теоремы Ферма.

Метод приводимого ниже решения известен в классической греческой математике как аналитический метод: предполагается, что задано некоторое решение уравнения x² + y² = z² (x, y, z — положительные целые), и свойства данного решения анализируются с тем, чтобы найти такие характеристики этих решений, которые позволили бы их строить.

Заметим, прежде всего, что если d — некоторое число, на которое делятся все три числа x, y, z, то уравнение x² + y² = z² можно сократить на d² и целые x/d, y/d, z/d также составляют пифагорову тройку. Если d — наибольший общий делитель чисел x, y, z, то x/d, y/d,  z/d не имеют общих делителей, отличных от 1, и образуют так называемую примитивную пифагорову тройку, т.е. пифагорову тройку, входящие в которую числа не имеют общих делителей, отличных от 1. Таким способом — делением на наибольший общий делитель — каждую пифагорову тройку можно привести к примитивной.

 Объективно, такие тройки являются первообразными  (Н. Акс)

 Обратно, если дана примитивная пифагорова тройка, скажем a² + b² = c², то любая пифагорова тройка, которая приводится к ней, может быть получена путём выбора соответствующего целого d и умножения на него: x = ad, y = bd, z = cd. Следовательно, достаточно научиться находить примитивные пифагоровы тройки и с самого начала можно предположить, что данная тройка x, y, z примитивная.

Из этого предположения следует, что никакие два из трёх чисел x, y, z не имеют общих делителей, больших 1. Например, если бы d было делителем x и y, то из равенства z² = x² + y² следовало бы, что d² является делителем z², а тем самым, что d делит z. Следовательно, d делило бы все три числа и, согласно примитивности тройки, равнялось бы 1. Аналогично, единственным общим делителем x и z или y и z служит 1.

В частности, никакие два из трёх чисел x, y, z не могут быть чётными (иметь общий делитель 2). Следовательно, по крайней мере два из них нечётны. Но очевидно, что все три числа не могут быть нечётными, так как тогда из x² + y² = z² следовало бы, что «нечётное + нечётное = нечётное», а это невозможно. Поэтому в точности одно из них чётно. Рассматривая сравнения по модулю 4, легко видеть, что z не может быть чётным. Действительно, квадрат нечётного числа 2n + 1 на единицу больше некоторого числа, кратного 4, а именно, он равен 4n² + 4n + 1. Квадрат чётного числа кратен 4: он равен 4n². Таким образом, если бы x и y были нечётными, a z чётным, то равенство x² + y² = z² давало бы нам число, кратное 4 и одновременно равное сумме двух чисел, каждое из которых на единицу больше, чем некоторое число, кратное 4, что, очевидно, невозможно. Следовательно, z нечётно, а x и y имеют противоположную чётность: одно из них нечётно, а другое — чётно. В случае необходимости, меняя местами x и y, мы можем считать, что в данной примитивной пифагоровой тройке x чётно, тогда как y и z нечётны.

Теперь перепишем уравнение x² + y² = z² в виде x² = z² – y² и, разложив правую часть на множители, получим x² = (z + y)(z – y). Поскольку все числа x, z+y, z–y чётны, существуют такие положительные целые u, v, w, что x = 2u, z+y = 2v, z–y = 2w. Тогда (2u)² = (2v)(2w), или u² = vw. Кроме того, наибольший общий делитель v и w равен 1, так как любое число, делящее как v, так и w, делило бы также и v+w = ½(z+y) + ½(z–y) = z и v–w = ½(z+y) – ½(z–y) = y и потому могло бы равняться только 1. Другими словами, v и w взаимно просты.

Вот так шаг за шагом решение проблемы все более усложняется (Н. Акс).

Основной шаг нашего рассуждения состоит в следующем. Произведение двух взаимно простых чисел v и w может быть квадратом vw = u² только тогда, когда v и w сами являются квадратами. Это утверждение становится очевидным, если мы рассмотрим разложение чисел v и w на простые множители. Действительно, поскольку v и w взаимно просты, то ни одно простое не входит одновременно в разложения v и w. Поэтому разложение числа vw на простые множители распадается на эти два разложения; если vw является квадратом, то все простые должны входить в разложение vw в чётных степенях, но тогда они должны входить уже в разложения v и w в чётных степенях. Следовательно, v и w — квадраты. Полное доказательство этого утверждения будет приведено в следующем параграфе.

Итак, существуют такие положительные целые p и q, что v = p², w = q². Кроме того, p и q взаимно просты, поскольку таковы v и w. Тогда

z = v + w = p² + q²,
y = v – w = p² – q².

Это показывает, что p больше q (y положительно) и что p и q должны иметь противоположную чётность (поскольку z и y нечётны). Далее, x легко выразить через p и q:

Таким образом, если дана произвольная примитивная пифагорова тройка, то найдутся такие взаимно простые положительные целые p и q, что p > q, p и q имеют противоположную чётность и данная тройка состоит из чисел 2pq, p² – q² и p² + q².

Это завершает анализ, поскольку легко доказать, что если дана произвольная пара p и q, такая, что (1)  p и q взаимно просты, (2)  p > q и (3)  p и q имеют противоположную чётность, то числа 2pq, p² – q², p² + q² образуют примитивную пифагорову тройку. Для этого достаточно заметить, что

(2pq)² + (p² – q²)² = (p² + q²)²

является алгебраическим тождеством, справедливым для всех p и q, и что из условий, наложенных на p и q, следует, что 2pq и p² – q² взаимно просты (и, значит, соответствующая тройка примитивна). Действительно, если бы эти числа имели общий делитель, больший 1, то они имели бы и простой общий делитель, скажем P. Поскольку p² – q² нечётно, P не равно 2; поэтому на P должно делиться p или q (так как на него делится 2pq), но не оба эти числа одновременно (так как p и q взаимно просты). Но это невозможно, поскольку это противоречило бы предположению о том, что P делит p² – q².

Это полностью решает задачу построения пифагоровых троек. Все пифагоровы тройки, соответствующие парам p и q с p ≤ 8, приведены в таблице 1.1. Заметим, что в эту таблицу входят стандартные примеры 3, 4, 5;  5, 12, 13 и 7, 24, 25. Заметим также, что легко продолжить эту таблицу на бо́льшие значения p, включая только те значения q, которые меньше p, взаимно просты с p и имеют противоположную чётность.

Таблица 1.1. Пифагоровы тройки 

Вот конкретный пример того, как изучались пифагоровы тройки. Разве можно было при таком подходе установить какую-либо функциональную зависимость их формирования? (Н. Акс).

Упражнения

1.4. Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска изобрёл Ферма, и этим изобретением он чрезвычайно гордился. В длинном письме, написанном незадолго до смерти, он подвёл итог своим открытиям в теории чисел и с полной определённостью заявил, что во всех своих доказательствах пользовался этим методом. Коротко говоря, этот метод состоит в следующем: некоторые свойства или отношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удаётся доказать, что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для ещё меньших чисел, и т.д. — ad infinitum, — что невозможно, поскольку последовательность положительных целых чисел не может бесконечно убывать.

Например, рассмотрим предложение, которое мы использовали в предыдущем параграфе, а именно: если v и w взаимно просты и vw является квадратом, то и сами v и w должны быть квадратами. Как подчёркивал сам Ферма, метод бесконечного спуска — это метод доказательства невозможности. В рассматриваемом случае мы должны доказать, что невозможно найти такие числа v и w, что (1) v и w взаимно просты, (2) vw — квадрат и (3) v или w не является квадратом.

Предположим, что можно найти такие v и w. В случае необходимости меняя местами v и w, мы можем предположить, что v не является квадратом. В частности, v ≠ 1. Следовательно, v делится по крайней мере на одно простое число. Пусть P — какое-либо простое число, на которое делится v, скажем v = Pk. Тогда на P делится также число vw, которое является квадратом: vw = u². Согласно основному свойству простых чисел (см. приложение А.1), если P делит u·u, то P должно делить u или u, т.е. P должно делить u:u = Pm. Тогда равенство vw = u² можно переписать в виде Pkw = (Pm)² = P ²m²; отсюда следует, что kw = Pm². Так как P делит правую часть этого равенства, оно должно делить и левую. Следовательно, согласно основному свойству простых чисел, P должно делить либо k, либо w. Но P не делит w, поскольку оно делит v, a v и w взаимно просты. Поэтому P делит k, скажем k = Pv'. Тогда равенство kw = Pm² превращается в Pv'w = Pm²; таким образом, v'w = m². Так как v = Pk = P ²v', то любой делитель числа v' является делителем v, а следовательно, v' и w не могут иметь общих делителей, больших 1. Кроме того, если бы v' было квадратом, то число v = P ²v' также было бы квадратом, что не имеет места; поэтому v' не является квадратом. Таким образом, числа v', w обладают приведёнными выше свойствами (1), (2), (3) и v' < v. Тогда то же самое рассуждение показывает, что существует другое положительное целое v'' < v', такое, что v'', w обладают всеми этими тремя свойствами. Бесконечное повторение этих рассуждений привело бы нас к бесконечно убывающей последовательности положительных целых чисел v > v' > v'' > v''' > ... . Но такой последовательности не существует (само число v даёт верхнюю границу числа шагов, в течение которых оно может быть уменьшено), поэтому никакие два числа v и w не могут обладать тремя указанными свойствами. Это доказывает данное предложение.

Подводя итоги, можно сказать, что метод бесконечного спуска основывается на следующем принципе. Если из предположения, согласно которому данное положительное целое обладает данным множеством свойств, следует, что существует меньшее положительное целое с тем же множеством свойств, то ни одно положительное целое не может обладать этим множеством свойств.

Ну и так далее… Я привел эту выдержку из работы Г. Эдвардса со своими комментариями, что бы продемонстрировать ту разницу в подходах к решению проблемы Ферма опубликованную в «Диалектике чисел» к основным работам математиков занимающихся данной проблемой. Основным различием является, что П. Ферма решил эту проблему методом подъёма, потому и выводы, вытекающие из этого доказательства,  раскрывают не только физические свойства чисел, но и свойства пространства в котором мы живем. (Н. Акс).