Продолжение:

Глава 1

ФЕРМА

1.1. Ферма и его «Последняя теорема»

Пьер де Ферма умер в 1665 году. К этому времени он был одним из самых знаменитых математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел, но при жизни его работы по теории чисел были настолько революционными и настолько опережали своё время, что их значение было плохо понято современниками, и слава Ферма основывалась больше на его достижениях в других областях науки. Среди них были важные труды по аналитической геометрии (независимо от Декарта Ферма был одним из создателей этой науки), по теории касательных, вычисления площадей, максимумов и минимумов (эти работы послужили началом математического анализа) и по геометрической оптике (которую он обогатил открытием того, что законы преломления можно вывести из принципа наименьшего времени).

В славе Ферма как математика есть два удивительных факта. Во-первых, по профессии Ферма был юристом, а не математиком. В зрелом возрасте он занимал довольно важные судебные должности в Тулузе, посвящая математике лишь свободное время. Во-вторых, за всю свою жизнь он не опубликовал ни одной математической работы.¹ Своей репутацией Ферма был обязан переписке с другими учёными и значительному количеству трактатов, которые распространялись в рукописном виде. Ферма часто убеждали опубликовать его работы, но по необъяснимым причинам он отказывался печатать свои труды, и многие из его открытий, особенно в теории чисел, так и не были приведены к виду, пригодному для публикации.

Поскольку Ферма отказывался публиковать свои работы, многие из его почитателей стали опасаться, что он скоро будет забыт, если не попытаться собрать его письма и неопубликованные трактаты и издать их посмертно. Такая попытка была предпринята его сыном, Самюэлем. Самюэль де Ферма занялся не только сбором писем и трактатов среди корреспондентов отца, но и разобрал его бумаги и книги, и именно этот путь привёл к публикации знаменитой «Последней теоремы» Ферма.

Книгой, первоначально вдохновившей Ферма на изучение теории чисел, была «Арифметика» Диофанта — одно из великих классических произведений древнегреческой математики, незадолго до того переоткрытое и переведённое на латинский язык. Самюэль обнаружил, что его отец сделал много замечаний на полях своего экземпляра книги Диофанта в переводе Баше, и для начала он выпустил новое издание «Арифметики» Диофанта , которое в качестве приложения содержало сделанные Ферма заметки на полях. Второе из этих 48 «Замечаний к Диофанту» было написано на полях вслед за задачей 8 из Книги II. В этой задаче требуется «данное число, которое является квадратом, записать в виде суммы двух других квадратов».

Написанная на латинском языке заметка Ферма утверждает, что «с другой стороны, невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвёртую степень — в виде суммы двух четвёртых степеней, или, вообще, любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Это простое утверждение, которое символически можно записать так: «для любого целого n>2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ неразрешимо», — теперь известно как Последняя теорема Ферма. Если Ферма действительно знал доказательство этого утверждения, оно несомненно было «удивительным», поскольку за триста с лишним лет, прошедших со времён Ферма, никто больше не смог найти такого доказательства. Эту задачу безуспешно пытались решить многие великие математики, и хотя был достигнут некоторый прогресс, позволивший доказать утверждение Ферма для всех показателей n порядка многих тысяч, до сегодняшнего дня неизвестно, справедливо это утверждение или нет.

Происхождение названия «Последняя теорема Ферма» неясно. Неизвестно, в какой период жизни Ферма написал эту заметку на полях, но принято считать, что он написал её тогда, когда впервые изучал книгу Диофанта, т.е. в конце 1630-х годов, — за три десятилетия до смерти.

 Я того же мнения (Н. Акс).

    В таком случае эта теорема, конечно, не была его последней теоремой. Вполне возможно, что это название обязано своим происхождением тому обстоятельству, что среди многих теорем, которые Ферма сформулировал без доказательства, эта теорема остаётся последней, до сих пор не доказанной. По-видимому, заслуживает внимания и соображение о том, что Ферма после дальнейших размышлений был, возможно, не вполне удовлетворён своим «удивительным доказательством», особенно если он действительно написал о нём в 1630-е годы. В самом деле, другие теоремы он вновь и вновь формулирует в своих письмах (иногда в виде своеобразного вызова на соревнование); среди них встречаются и частные случаи  x³ + y³ ≠ z³, x⁴ + y⁴ ≠ z⁴. Последней теоремы, но сама эта теорема появилась лишь однажды как замечание номер 2 к Диофанту — загадочным сфинксом для потомков.

Здесь следует отметить, что все последующие работы Ферма по теории чисел являлись результатом его исследований пифагоровых функций и алгоритма триединства в частности (Н. Акс).

В «Арифметике» Диофанта рассматриваются исключительно рациональные числа, поэтому не следует сомневаться в том, что Ферма имел в виду отсутствие рациональных чисел x, y, z, таких, что xⁿ + yⁿ = zⁿ (n>2). Если бы можно было рассматривать иррациональные числа, то для любой пары чисел x, y мы получили бы такое решение, просто положив z =ⁿ√xⁿ + yⁿ. С другой стороны, если бы уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имело рациональные решения, то оно имело бы и целые решения, или решения в целых числах: действительно, если x, y, z — рациональные решения уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ и d — их наименьший общий знаменатель, то xd, yd, zd — целые числа и (xd)ⁿ + (yd)ⁿ = (xⁿ + yⁿ)dⁿ = (zd)ⁿ, так что zd — целое число, n-я степень которого равна сумме n-х степеней. Кроме того, как Диофант, так и Ферма имели дело с положительными числами — во времена Ферма к отрицательным числам и нулю ещё относились с подозрением, — поэтому молчаливо исключается также и тривиальный случай, когда x или y равно нулю. (Например, равенство 2⁵ + 0⁵ = 2⁵, конечно, не противоречит Последней теореме Ферма.) Таким образом, Последняя теорема Ферма, по существу, сводится к утверждению о том, что если n — целое, большее двух, то невозможно найти такие положительные целые числа x, y, z, что xⁿ + yⁿ = zⁿ. Именно в таком виде обычно и формулируется эта теорема.

За три столетия, прошедшие после смерти Ферма, его работы во всех областях, кроме теории чисел, были постепенно забыты, но не потому, что они оказались чем-либо плохи. Наоборот, это были первые серьёзные шаги в развитии важных теорий, которые теперь значительно яснее поняты и которые проще объяснить с использованием языка и символики, не существовавших во времена Ферма. В то же время работы Ферма по теории чисел пользуются непреходящей славой, и среди них не только его Последняя теорема, но и многие другие открытия и идеи, часть которых мы рассмотрим позже в этой главе. Такое отношение к наследию Ферма, кажется вполне сообразным, поскольку, как явствует из его переписки, какими бы важными для развития математики ни считал он свои работы в других областях, его истинной любовью была теория чисел. Изучение свойств положительных целых чисел, которые казались ему величайшим вызовом силе чистого математического рассуждения и величайшей сокровищницей чистых математических истин.

1.2. Пифагоровы треугольники

В предложении из «Арифметики» Диофанта, которое привело Ферма к его Последней теореме, рассматривается одна из самых старых математических задач: «записать квадрат в виде суммы двух квадратов». Одно решение этой задачи получается при помощи равенства 3² + 4² = 5², из которого следует, что для любого квадрата a² справедливо тождество a² = (3a/5)² + (4a/5)². Аналогично, любая тройка положительных целых x, y, z, таких, что x² + y² = z², даёт решение a² = (ax/z)² + (ay/z)², и, как легко видеть, любое решение получается таким образом. Короче говоря, задача Диофанта сводится к задаче нахождения троек положительных целых чисел, удовлетворяющих уравнению x² + y² = z².

Если задачу Диофанта сформулировать таким образом, то станет очевидной её связь с теоремой Пифагора. По теореме Пифагора из равенства 3² + 4² = 5² следует, что треугольник, стороны которого находятся в отношении 3 : 4 : 5, является прямоугольным треугольником. Вообще, любая тройка положительных целых x, y, z, удовлетворяющая уравнению x² + y² = z², определяет такое множество отношений x : y : z, что треугольник, стороны которого находятся в этом отношении, является прямоугольным треугольником. Это означает, что задачу Диофанта можно на геометрическом языке выразить как задачу нахождения прямоугольных треугольников с соизмеримыми длинами сторон, т.е. треугольников, для которых отношения длин сторон выражаются как отношения целых чисел. Ввиду такой геометрической интерпретации любую тройку положительных целых чисел, удовлетворяющую уравнению x² + y² = z², называют пифагоровой тройкой.

Пифагорова тройка 3² + 4² = 5² — самый простой и наиболее известный пример. Другой пример: 5² + 12² = 13².

Именно такой подход к пониманию пифагоровых троек и приводит к ошибке, поскольку он объединяет горизонтальные и вертикальные функции в одно целое и не розволяет установить какую – либо функциональную зависимость. (Н. Акс).

 Конечно, здесь важны только отношения, и тройка 6, 8, 10, которая образует те же отношения, что и 3, 4, 5, также является пифагоровой тройкой. Аналогично, 9, 12, 15 и 10, 24, 26 — пифагоровы тройки, которые существенно не отличаются от приведённых выше. Но тройка 7, 24, 25 отличается существенно. Задача Диофанта состоит в нахождении пифагоровых троек. За несколько веков до Диофанта (около 250 г. н.э.?) эту задачу рассмотрел Евклид (около 300 г. до н.э.) в своих «Началах» (Книга X, лемма 1 между предложениями 28 и 29). Однако, как показало одно из самых удивительных открытий археологии двадцатого века, более чем за тысячу лет до Евклида эту задачу изучали древние вавилоняне.

В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно 1500 г. до н.э.; при изучении оказалось (см. Нейгебауэр ), что она содержит список пифагоровых троек. Одна из троек в этом списке — 3, 4, 5, но среди других содержится также и 4961, 6480, 8161. (Возможно, читателю будет интересно провести вычисления и убедиться в том, что это действительно пифагорова тройка.)

Элементарное решение:  X = 6480; Y = 4961;  Z = 8161; D = Z – X =  1681.

Откуда  X = (4961^2 – 1681^2)/ 2*1681 = 6480.  Вот так-то!!!  (см. «Диалектика чисел», книга 1). (Н. Акс)    (D)

 Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом решения задачи Диофанта. Мы не знаем ни того, что это был за способ, ни того, какие причины побудили вавилонян изучать пифагоровы тройки.

Вот вопрос вопросов: какими же знаниями они обладали, и откуда эти знания получили? (Н. Акс).

По мнению Нейгебауэра, вполне вероятно, что им был известен геометрический смысл пифагоровых троек — другими словами, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора, — и что они получали эти тройки каким-то методом, подобным использованному в книгах Диофанта и, с меньшей строгостью, Евклида. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе.

Интересно, и, по-видимому, это не простое совпадение, что этой задаче из предыстории математики суждено было привести к одной из самых знаменитых математических задач нашего времени.

Продолжение следует: