Г. Эдвардс: Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел.

Для особо интересующихся проблемой Ферма указанную работу можно скачать здесь:

Пожалуй, нет ни одной математической проблемы, которая была бы столь популярна среди математиков и особенно среди математиков-любителей, как проблема Ферма (или знаменитая «Великая теорема Ферма», или «Последняя теорема Ферма»).

На русском языке имеется не так много книг, специально посвящённых этой проблеме, да и книги эти из серии популярных. [После доказательства ПТФ в 1995 году Эндрю Уайлсом кое-какие книги появились. Например, П. Рибенбойм. «Последняя теорема Ферма для любителей» (М., Мир, 2003). См. также Ж. Остерле. «Новые подходы к "теореме Ферма"» в сб. «Труды семинара Бурбаки за 1988 г.» (Математика. Новое в зарубежной науке. Вып. 46. М., Мир, 1990) и Э. Кнэпп. «Эллиптические кривые» (М., Факториал, 2004). — E.G.A.] Одиозность проблематики, первоначально вызванная Вольфскелевской премией, вынуждает каждого пишущего о теореме Ферма быть предельно осторожным. По крайней мере написанная книга не должна вызывать сомнения в том, что её автор не хочет иметь дело с «ферматистами». [Рибенбойм в вышеупомянутой книге более категоричен. В обращении к читателю он пишет:

Возможно, у Вас есть соблазн получить Ваше собственное (более простое) доказательство последней теоремы Ферма.

На этот счёт у меня есть твёрдое убеждение. В главе «Права человека» Всеобщей конституции государств и наций должно быть записано:

Каждый человек имеет неотъемлемое право на своё доказательство последней теоремы Ферма.

Однако это торжественное утверждение, касающееся последней теоремы Ферма (далее именуемой Теоремой), должно быть ограничено следующими статьями.

Статья 1. Никакое новое доказательство Теоремы не должно быть повторением уже известного.

Статья 2. Представление заведомо неверных доказательств Теоремы профессорам, которые еле зарабатывают на жизнь, обучая тому, как правильно строить доказательства, является уголовным преступлением.

За нарушение последней статьи полагается ссылка в ад. Возвращение в рай возможно только после того, как «преступник» поймёт и сможет воспроизвести доказательство Уайлса. (Жестокое наказание.)

Книга Эдвардса, предлагаемая вниманию читателей, настолько содержательна, что у любителей решать проблему Ферма примитивными методами она отобьёт всякое желание дискутировать. Кстати, и книга М. М. Постникова «Теорема Ферма» (М.: Наука, 1978), не столь объёмистая, как эта, наделена таким же иммунитетом.

Книга Эдвардса, как пишет сам автор в предисловии, не претендует на историчность. Это, конечно, верно, однако некоторые моменты истории математики в книге описаны весьма подробно. Достоинством книги является и то, что автор подробно излагает основы теории идеалов генетическим методом. Приятно узнавать, каким образом создавалась эта теория, какие математики в этом участвовали, какие возникали драматические, а порой и парадоксальные ситуации (например, случай с р=23), в итоге приведшие к гениальному открытию.

Изложение генетическим методом имеет и теневые стороны. Эдвардсу волей-неволей приходится пользоваться терминологией прошлого века, излагать доказательства теорем языком той эпохи, производить многочисленные арифметические вычисления, выписывать длинные цитаты — всё это в книге соткано в единое произведение, наделённое духом нашего времени. Такое сочетание затрудняет чтение книги в оригинале и делает её чрезвычайно сложной для перевода. Переводчики стремились сохранить свежесть и оригинальность стиля автора, и если это не всегда удалось им, то, во всяком случае, не из-за отсутствия старания. Предисловие, главы I, II, VII, VIII, IX и § 2 приложения переведены В. Л. Калининым. Главы III, IV, V, VI и § 1 приложения переведены А. И. Скопиным.

По-видимому, многие откроют эту книгу с желанием узнать, каково современное состояние знаний о Последней теореме Ферма, и, так как сама книга не даёт ответа на этот вопрос, стоит, вероятно, сказать об этом несколько слов в предисловии. Последняя теорема Ферма — это утверждение (не теорема), что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ при n>2 не имеет целых положительных решений. Легко доказать (см. § 1.5) неразрешимость уравнения x⁴ + y⁴ = z⁴. Поэтому исходное уравнение неразрешимо, когда n делится на 4. (Если n=4k, то равенство xⁿ + yⁿ = zⁿ приводило бы к равенству X⁴ + Y⁴ = Z⁴, где X=x^k, Y=y^k, Z=z^k, что невозможно.) Аналогично, если доказать неразрешимость уравнения x^m + y^m = z^m при некотором значении m, отсюда будет следовать неразрешимость исходного уравнения для любого n, делящегося на m. Поскольку каждое n>2 делится либо на 4, либо на нечётное простое число, то для доказательства Последней теоремы Ферма достаточно доказать её для простых показателей n.

Для показателя n=3 доказать эту теорему не слишком трудно (см. гл. 2). Для показателей 5 и 7 возникают бо́льшие трудности (§ 3.3 и 3.4), однако методы остаются по существу элементарными. Основное содержание книги составляет мощная теория «идеального разложения», разработанная Куммером в 40-е годы XIX века и позволившая одним махом доказать Последнюю теорему для всех простых показателей, меньших 100, кроме 37, 59 и 67. Точнее, теорема Куммера утверждает следующее. Пусть p — нечётное простое число. Тогда достаточное условие для справедливости Последней теоремы Ферма при показателе p состоит в том, что p не делит числители чисел Бернулли B₂, B₄, ..., B_p_–3 (см. § 5.5 и 6.19). Простое число, удовлетворяющее достаточному условию Куммера, называется «регулярным».

Начиная с 1850 года основные усилия были направлены на нахождение всё более мощных достаточных условий. Наилучшие известные теперь достаточные условия, с одной стороны, являются очень мощными в том смысле, что им удовлетворяют все простые числа, меньшие 100 000 . Однако, с другой стороны, все эти условия вызывают сильное разочарование, поскольку среди них нет ни одного, которому удовлетворяло бы бесконечное множество простых показателей. Таким образом, Последнюю теорему Ферма можно доказать для любого простого числа, лежащего в доступных для вычислений пределах, и тем не менее нельзя исключить возможность, что для всех простых чисел, превосходящих некоторую большую границу, теорема неверна.

Именно анализ пифагоровых функций и позволяет решить эту проблему (Н. Акс).

Основным методом изложения в этой книге, как указывает её подзаголовок, является генетический метод. Словарь определяет «генетический» как «относящийся к генезису, происхождению». В этой книге я попытался объяснить основные методы и понятия алгебраической теории чисел и продемонстрировать их естественность и эффективность, прослеживая их происхождение и развитие в работах некоторых из великих мастеров: Ферма, Эйлера, Лагранжа, Лежандра, Гаусса, Дирихле, Куммера и других.

Важно отличать генетический метод от описания истории вопроса. Различие заключается в том, что генетический метод прежде всего занимается самим предметом изучения — его происхождением и развитием, тогда как основной целью исторического описания является аккуратная регистрация сведений о людях, идеях и событиях, которые играли роль в эволюции предмета изучения. В истории нет места для детального описания теории — если только это не является существенным для понимания событий. В генетическом методе нет места для внимательного изучения событий — если только это не способствует более глубокому проникновению в предмет.

Это означает, что генетический метод имеет тенденцию представлять историческую последовательность в искажённой перспективе. Игнорируются вопросы, которые так и не были успешно разрешены. Не рассматриваются идеи, ведущие в тупик. Генетический метод обходит молчанием месяцы бесплодных усилий и горы вспомогательных вычислений. Для того чтобы выявить действительно плодотворные идеи, приходится делать вид, что человеческий разум по прямой линии движется от задач к решениям. Я особенно хотел бы подчеркнуть, что представление о прямолинейном движении человеческого разума является настолько нелепой фикцией, что к ней ни на мгновение нельзя относиться серьёзно.

Сэмюэль Джонсон некогда так писал о работе над биографиями: «Если бы дозволялось показывать лишь светлые стороны характеров, то нам оставалось бы только впасть в уныние из-за полной невозможности в чём-либо следовать героям. Авторы жизнеописаний святых рассказывали как о дурных, так и о добродетельных поступках людей. Это удерживало человечество от отчаяния, в чём и заключалось моральное действие такого подхода». В этой книге по большей части мы показываем только светлые стороны, только плодотворные идеи и только правильные догадки. Читатель должен иметь в виду, что эта книга не является ни исторической, ни биографической, и, значит, ему не стоит впадать в отчаяние.

Возможно, вас заинтересует не столько разница между историческим описанием и генетическим методом, сколько отличие генетического метода от более обычного метода математического изложения. Как утверждал математик Отто Тёплиц, сущность генетического метода состоит в том, чтобы, рассмотрев исторические источники идеи, найти для неё наилучшую мотивировку, и, изучив контекст, в котором работал человек, первым выдвинувший эту идею, найти тот «жгучий вопрос», на который он жаждал ответить . В противоположность этому более обычный метод оставляет в стороне вопросы и приводит лишь ответы. С логической точки зрения нужны только ответы, однако с психологической точки зрения изучать ответы, не зная вопросов, очень трудно и даже практически невозможно. По крайней мере таков мой собственный опыт. Я обнаружил, что наилучший путь преодолеть трудности изучения абстрактной математической теории состоит в том, чтобы последовать совету Тёплица и игнорировать современные изложения до тех пор, пока не изучишь генезис и не узнаешь вопросов, которые привели к этой теории.

В-первых трёх главах этой книги рассматриваются элементарные аспекты Последней теоремы Ферма. Эти главы написаны на более элементарном уровне, чем остальная часть книги. Я надеюсь, что читателю, обладающему достаточной математической зрелостью для чтения последних глав, эти первые три главы тоже покажутся интересным и достойным внимания, хотя и лёгким чтением. В то же время я надеюсь, что менее искушённый читатель, который потратит больше времени и сил на первые главы, в результате приобретёт достаточно опыта, чтобы, хотя и с трудом, но преодолеть и дальнейшие главы.

Следующие три главы 4–6 посвящены развитию куммеровой теории идеальных делителей и её приложению к доказательству сформулированной выше замечательной теоремы Куммера о том, что Последняя теорема Ферма верна для регулярных простых показателей. Это наивысшая точка, которая достигается в настоящей книге при изучении Последней теоремы Ферма. Я намереваюсь написать второй том, в котором будут изложены работы по Последней теореме Ферма, выходящие за пределы теоремы Куммера; однако эти более поздние исследования трудны, и теорема Куммера является естественной точкой для завершения этого тома.

В трёх последних главах рассматриваются вопросы, более косвенным образом связанные с Последней теоремой Ферма, а именно: теория идеального разложения для квадратичных целых, гауссова теория бинарных квадратичных форм и формула Дирихле для числа классов. Изучать работы Куммера по Последней теореме Ферма, не касаясь этих вопросов, столь же неразумно, как изучать историю Германии, не затрагивая истории Франции. С самого начала своей работы по теории идеалов Куммер сознавал, что она тесно связана с гауссовой теорией бинарных квадратичных форм. Применение к Последней теореме Ферма было лишь одним из мотивов, побудивших Куммера к развитию этой теории; другими мотивами (и, по его собственному свидетельству, более настоятельными) были поиски обобщения квадратичного, кубического и биквадратичного законов взаимности на высшие степени и попытки найти объяснение трудной гауссовой теории композиции форм. Кроме того, по словам самого Куммера, тем, что ему удалось удивительно быстро найти формулу для числа классов и открыть поразительную связь между Последней теоремой Ферма для показателя p и поведением чисел Бернулли по модулю p, он был обязан решению Дирихле аналогичной задачи в квадратичном случае. Генетический метод подсказывает — почти требует — изучить эти достижения и найти мотивировку трудной, но чрезвычайно плодотворной идеи «идеальных простых делителей», столь существенной для понимания работ Куммера по Последней теореме Ферма. Кроме того, материал трёх заключительных глав, обеспечивают необходимую основу для изучения высших законов взаимности и теории полей классов, на которые в свою очередь опираются более поздние работы по Последней теореме Ферма, намеченные для изучения во втором томе.

В этой книге, как в основном тексте, так и в упражнениях, особенно большое место уделено вычислениям. Это необходимая составляющая генетического метода. Действительно, даже поверхностный взгляд на историю вопроса показывает, что Куммер и другие великие новаторы в теории чисел производили обширные вычисления и на этом пути достигали своих глубоких озарений. Я вынужден с прискорбием заметить, что современное математическое образование имеет тенденцию прививать студентам мысль, что вычисления являются унизительной нудной работой, которой следует избегать любой ценой.

Сюда следовало бы прибавить и проблему Варинга! (Н. Акс).

Если вы внимательно проследите за вычислениями в основном тексте, и будете рассматривать упражнения вычислительного характера не только как отнимающие время (неизбежно они обладают этой особенностью), но и как представляющие интерес, доставляющие наслаждение и понимание, то я уверен, что вы сможете оценить как мощь, так и крайнюю простоту теории.

Я убеждён в том, что не бывает пассивного понимания математики. Только при активном чтении лекций, написании учебников или решении задач можно полностью овладеть математическими идеями. Именно по этой причине данная книга содержит так много упражнений, и именно по этой причине я считал, что серьёзный читатель должен решить их как можно больше. Некоторые из моих коллег указали мне, что, предлагая столь большое количество упражнений, я оттолкну от книги тех читателей, которые захотели бы прочитать её только ради удовольствия. На это я могу ответить, что упражнения только предлагаются, но не предписываются для обязательного решения. Делайте с ними что хотите, но, возможно, вы обнаружите, что они также способны доставить удовольствие.

Знаменитая премия за доказательство Последней теоремы Ферма была учреждена П. Вольфскелем в 1908 г. Одним из условий присуждения премии была публикация доказательства, и, по-видимому, главным результатом учреждения премии было чудовищное количество нелепых доказательств, предназначенных для печати или опубликованных частным образом. С очевидным удовольствием Морделл и другие специалисты по теории чисел объявили, что последовавшая после первой мировой войны инфляция в Германии свела первоначально внушительную премию практически к нулю. Однако экономическое возрождение ФРГ после второй мировой войны изменило ситуацию. Теперь премия Вольфскеля составляет около 10 000 западногерманских марок, или 4000 американских долларов. Для присуждения премии доказательство должно быть опубликовано и не менее чем через два года после публикации должно быть признано верным Гёттингенской Академией наук.

Если вы намерены попытаться заработать эту премию — примите мои наилучшие пожелания. Я был бы восхищён, если бы эта задача была решена, и особенно если бы человеку, решившему её, оказалась полезной моя книга. И хотя можно спорить о том, способна ли книга, излагающая идеи, которые не привели к решению задачи, оказаться полезной тому, кто надеется найти решение, я думаю, что без успешных усилий многих первоклассных математиков (не говоря уже о многих не таких первоклассных) достаточно для того, чтобы считать наивный подход к этой проблеме совершенно безнадёжным. Приведённые в этой книге идеи позволяют решить проблему для всех показателей, меньших 37. Ничего подобного нельзя сказать ни об одном подходе, не использующем куммерову теорию идеального разложения. Однако прежде чем вы задумаете добиться получения премии Вольфскеля, стоит принять во внимание ещё одно обстоятельство. Мне кажется, что нет вообще никаких оснований считать Последнюю теорему Ферма верной, а условия присуждения премии не предлагают ни единого пфеннига за опровержение этой теоремы.