Алгебраическое  доказательство ВТФ.

Великая теорема Ферма гласит: «Ни куб на два куба, ни квадрато – квадрат и вообще никакая, кроме квадрата, степень не может быть разложена на сумму двух таких же». Тем самым он утверждает, что при

 n > 2 выразить уравнение  zⁿ = xⁿ + yⁿ (1)   в натуральных числах невозможно. После бесконечно неудачных попыток найти элементарное доказательство ВТФ сформировалось мнение, что П. Ферма сделав приписку  к теореме: «Я нашел удивительное доказательство тому…» самоуверенно ошибся. Но, так ли это? Давайте рассуждать на базе тех знаний математики, которыми мог обладать П. Ферма. Уже на ту пору, было достоверно известно, что уравнение (1) принадлежит решению прямоугольного треугольника и само уравнение является неопределенным, поскольку его разложение возможно только через комплексное число. Кроме того, из работ Евклида (Начала, книга VI), следует теорем

1).   Если x, y, z - попарно простые числа, удовлетворяющие уравнению

x² + y² = z² ,

то из двух чисел  x и y  одно четно, а другое нечетно.

2). Взаимно простые числа  x, y, z (x > 0, y > 0, z > 0), из которых  x четно,

удовлетворяют  уравнению   x² + y² = z²  тогда и только тогда, когда

x = 2ab,    y = a² - b² ,      z = a² + b².

        Где  a > b > 0,  (a, b) = 1 и из чисел  a и b одно четно, а другое нечетно.

При этом если пифагорова тройка имеет наибольший общий делитель, то

Этот способ нахождения решений уравнения (1) в натуральных числах (нахождение пифагоровых троек) используется по настоящее время и считается незыблемым.

Но вот казус: согласно сведениям дошедших до нас от его учеников, сам Пифагор находил свои тройки из уравнения (2):

Вопрос: откуда он взял это уравнение? Впишем на радиус R = z окружности прямоугольный треугольник OAB.

Рис. 1.

Данный прямоугольный треугольник  соответствует первичной пифагоровой тройке  x = 4; y = 3; z = 5.  Поскольку R = OA = (OB + BC), то z = x + ∆.

И если мы имеем решение данного треугольника в натуральных числах, то и значение ∆, всегда будет числом натуральным.

 Для любой окружности радиусом R = z, всегда z = x+ ∆. При этом, если мы рассматриваем, что x, y, z числа натуральные, то и значение ∆ (z > x > ∆), всегда будет числом натуральным.

Представим уравнение x² + y² = z² (3)  в виде x² + y² = (x+∆)²  (4) преобразуя которое, получим:  

         (5)                          

Отсюда видно, что при  ∆ = 1, мы получим искомое уравнение Пифагора (1).

Значение  z  будет:

          (6)                          

Откуда

    (7)

или                      

    (7)                                                          

Сразу следует отметить, что график уравнения (5) представляет собой вершину бесконечно растянутого в пространстве эллипса, у которого на вершине эксцентриситет e < 1, но по мере удаления, стремится к единице,

т. е. к параболе. Потому я данную эллиптическую кривую условно называю параболой.

Далее, из уравнения (5) следует, что значения y находятся в функциональной зависимости от значений ∆, таким образом:  x = f(y; ∆). В доказательство этого привожу примеры таблиц пифагоровых чисел, согласно их функциональной зависимости от ∆.

Рис. 2.

На данном рисунке приведены таблицы пифагоровых чисел для значений дельта: ∆ = 1; 2; 3; 4; 5; 6. Здесь видно, что для каждого значения ∆  возрастание значений y происходит в арифметической прогрессии с шагом  h_y, причем, если значение ∆ -  число четное, то h_y = ∆. Если значение ∆ - число нечетное, то h_y = 2∆.   

Вернемся к графикам пифагоровых троек. Будем рассматривать график только в первой ординате, поскольку для всех остальных ординат указанный график абсолютно идентичен в силу их симметричности (подробный анализ всех свойств образования и закономерностей пифагоровых чисел дан в «Диалектике чисел»).

Рис.3.

Каждая пифагорова тройка есть точка в осях координат с координатами x; y.

Я дал этим точкам название резонансные точки. Все резонансные точки располагаются на ветвях парабол соответствующих значений ∆. При этом они подразделяются на два вида: первообразные (примитивные не имеющие НОД), и производные вида mx² + my² = mz² (9), где x; y; – есть координаты первообразной резонансной точки.

Если из начала координат через каждую первообразную резонансную точку провести прямую, то на продолжении этой прямой в местах ее пересечения с другими параболами (∆ -функциями более высоких значений ∆), будут образовываться производные резонансные точки, соответствующие уравнению (9).

Таким образом, пифагоровы тройки подразделяются на два вида: первообразные (x² + y² = z²), и производные (mx² + my² = mz²); никаких других нет и быть не может, и все они соответствуют решению только прямоугольного треугольника.

Придя к такому выводу, как мог П. Ферма придти к доказательству своей теоремы?

 Продолжение  следует: